Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel
Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия
Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.
Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.
Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:
То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.
На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:
s 2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,
X – отдельные значения,
X̅– среднее арифметическое по выборке.
Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.
Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.
Расчет дисперсии в Excel
Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.
В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).
Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А 2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.
Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.
Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.
Среднеквадратичное (стандартное) отклонение
Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:
На практике формула стандартного отклонения следующая:
Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.
Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel
Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).
Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.
Коэффициент вариации
Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:
По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.
Расчет коэффициента вариации в Excel
Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:
Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:
Коэффициент осцилляции
Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.
Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.
Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных.
Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.
Источник статьи: http://statanaliz.info/statistica/opisanie-dannyx/dispersiya-standartnoe-otklonenie-koeffitsient-variatsii/
Синонимы к словосочетанию «стандартное отклонение»
(а также близкие по смыслу слова и выражения)
Связанные слова и выражения
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова пахнуть (глагол), пахло:
Связанные слова (по тематикам)
- Люди: пользователь, психопат, программист, психиатр, изготовитель
- Места: модуль, терминал, кубатура, подмножество, виртуалка
- Предметы: рамка, модель, микропроцессор, штамповка, комплект
- Действия: отклонение, модификация, выборка, норматив, синхронизация
- Абстрактные понятия: стандарт, норма, параметр, показатель, эталон
Ассоциации к слову «стандартный»
Ассоциации к слову «отклонение»
Предложения со словосочетанием «стандартное отклонение»
- Счёт Z – это просто число стандартных отклонений, на которое данные отстоят от среднего значения нормального распределения вероятности.
Цитаты из русской классики со словосочетанием «стандартное отклонение»
- От корейских фанз река Кулумбе течет в широтном направлении с небольшим отклонением к югу. Тотчас за фанзами начинается гарь, которая распространяется далеко по долине и по горам. Заметно, что горы стали выше и склоны их круче.
Сочетаемость слова «стандартный»
Сочетаемость слова «отклонение»
Значение слова «стандартный»
СТАНДА́РТНЫЙ , —ая, —ое; —тен, —тна, —тно. 1. Соответствующий стандарту (в 1 знач.); типовой. Стандартные детали. Стандартная мебель. Стандартный шрифт. (Малый академический словарь, МАС)
Значение слова «отклонение»
ОТКЛОНЕ́НИЕ , -я, ср. 1. Действие по знач. глаг. отклонить—отклонять и отклониться—отклоняться. Отклонение стрелки. Отклонение ходатайства. (Малый академический словарь, МАС)
Отправить комментарий
Дополнительно
Значение слова «стандартный»
СТАНДА́РТНЫЙ , —ая, —ое; —тен, —тна, —тно. 1. Соответствующий стандарту (в 1 знач.); типовой. Стандартные детали. Стандартная мебель. Стандартный шрифт.
Значение слова «отклонение»
ОТКЛОНЕ́НИЕ , -я, ср. 1. Действие по знач. глаг. отклонить—отклонять и отклониться—отклоняться. Отклонение стрелки. Отклонение ходатайства.
Предложения со словосочетанием «стандартное отклонение»
Счёт Z – это просто число стандартных отклонений, на которое данные отстоят от среднего значения нормального распределения вероятности.
Счёт Z означает, на сколько стандартных отклонений вы удалены от среднего значения распределения.
Ведь всем, кто хоть немного знаком с основами статистики, ясно, что деловые расчёты следует строить, прибавляя к среднему значению некоторую величину, кратную стандартному отклонению.