Знак подобия в геометрии – правило и примеры обозначения
В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.
Определение и знак подобия в геометрии
Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.
На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.
Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:
∆A 1 B 1 C 1
— треугольники ABC и A1B1C1
подобны.
Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:
1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.
Коэффициент подобия треугольников и знак подобия
Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:
В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.
В алгебре высказываний знаком
обозначают логическую операцию «эквиваленция».
При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):
Признаки подобия прямоугольных треугольников
Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.
Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.
Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.
треугольник ∆ABC и треугольник ∆A1B1C1 считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;
отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство подобия треугольников через среднюю линию
Имеется треугольник ∆ABC, mn – средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.
Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.
Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:
Отсюда делаем вывод, что ∆MBN
∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.
Источник статьи: http://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/85548-znak-podobiia-v-geometrii-pravilo-i-primery-oboznacheniia.html
Подобные треугольники
Определение
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
II признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Свойства подобных треугольников
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
2. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – 
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .
Источник статьи: http://egemaximum.ru/podobnye-treugolniki/
Как выглядит знак подобия в геометрии?
Как можно доказать, что Земля круглая, кроме как посмотреть на неё из космоса?
Разумному человеку очень просто доказать. Фанатику — невозможно. Итак, доказательство без экспериментов. В Северном полушарии не видно Южный крест. В южном полушарии не видно полярную звезду. Конец доказательства. И вообще даже без пересечения экватора, а просто при перемещении с севера на юг картина созвездий меняется. Одни начинают быть видны, а другие скрываются за горизонтом. На плоской же Земле картина созвездий должна быть одинаковой с любой точки наблюдения. А главное, у них(фанатиков) нет ответа, что находится под диском Земли. Они же гравитацию отрицают. А значит есть верх и низ. А значит, там должна быть некая основа. Но под ней должна быть другая основа. И так бесконечно. Это дурная бесконечность, которая в логике означает ошибочность предпосылок. Но фанатикам плевать на логику и на наблюдения. Это очень обиженные на жизнь люди, которые вокруг себя видят только заговоры: все вокруг заговорщики, одни они — честные и хорошие. Это же касается не только лунатиков и плоскоземельщиков, но и всех альтернативно одарённых хисториков: левашовцев, тартаровцев, фоменковцев, норманистов, укров, неоязычников, славяно-ариев — несть им числа.
Возможен ли не прямоугольный треугольник, в котором сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны?
Я согласен с ответом от Uwe Boll, но постараюсь ответить более детально.
Вообще, если вам даны один угол и длина двух сторон, или два угла и длина одной стороны, или все три стороны, то они определяют остальные три элемента. Однако если вам даны три угла, то они определяют длину сторон с точностью до фактора.
В вашем вопросе, даны длины всех трех сторон с точностью до фактора:
fA, fB, и fC=f sqrt(A^2+B^2). Мы хотим понять почему никакой «гибкости» в этом треугольнике нет.
Обозначим углы напротив каждой из сторон соотвенственно a, b, c .
Мы используем закон косинусов на плоскости:
Косинус угла напротив «длинной» стороны (мы подозреваем, гипотенузы) определен
(фактор f сокращается). (Заметим, что два других угла тоже определены без всякой гибкости, но нам они не интересны.) Дальже идет алгебра — мы знаем длину C(A,B) и подставляем в правую сторону:
(A^2 + B^2 — C^2) / (2AB) = (A^2 + B^2 — sqrt(A^2+B^2)^2) / (2AB) = (A^2 + B^2 — (A^2+B^2)) / (2AB) = 0.
То есть косинус угла c = ноль. Значит это должен быть прямой угол.
Однако закон косинусов так не работает, если ваш треугольник не на плоскости, а, например, на сфере.
Как найти в треугольнике высоту?
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (для тупого угла — на продолжение стороны треугольника).
В зависимости от входных данных, высоту треугольника можно найти разными способами.
- Если известны длины всех сторон
где h — длина высоты треугольника, p — полупериметр, a — длина стороны, на которую падает высота (основание), b и c — длины двух других сторон треугольника.
- Если известна длина одной из сторон треугольника и угол между этой стороной и основанием треугольника
- Если известна длина основания и площадь треугольника
- Если известны длины двух сторон треугольника и радиус описанной вокруг треугольника окружности
Почему кому-то легче даётся алгебра, а кому-то — геометрия?
Вообще если вы будете учиться высшей математике в институте, то вскоре поймёте, что разница между алгеброй и геометрией весьма и весьма условна. Один из самых красивых, абстрактных и продвинутых разделов математики так кстати и называется: алгебраическая геометрия.
Была ещё и геометрическая алгебра. То есть, её так никто из современников не звал, но в целом поздняя математика пифагорейской школы являлась именно чем-то таким — решение уравнений, вытекающих из длин, площадей и объёмов. Именно потому, что греки слишком сильно привязались к наглядной науке, они так и не додумались до уравнений выше третьей степени.
Если смотреть в корень, алгебра и геометрия в целом восходят к двум разным сферам деятельности.
Геометрия по-гречески означает «землемерие» и служила, понятное дело, вполне наглядным и практичным целям — производству нямки. В дальнейшем она нашла своё применение и в архитектуре, и в искусстве. Ну, и померять линейкой или ещё чем-нибудь те вещи довольно легко. Хотя здесь постоянно возникали квадратные-кубические уравнения — и у вас в школьной программе по геометрии они тоже скоро возникнут.
Здесь, кстати, следует сказать, что во многом ограниченность греческой математики — это вина Платона, который несмотря на знаменитую фразу «Не знающий геометрии на да не войдёт [в Академию]», с самой геометрией не очень-то дружил. Он был больше мистик, считал, что «правильные» приборы — это только циркуль и линейка, и навязал эту точку зрения своим ученикам. Хотя на тот момент греческие учёные уже могли чертить эллипсы, и развивали основы математического анализа. К несчастью, Академию основал именно Платон, а не Архимед, своим авторитетом на два тысячелетия стреножив европейскую науку.
Алгебра, в свою очередь, в первую очередь пошла из области тоже наглядной, но в которой линейкой особо не померяшь, а именно — из астрономии. Как и землемерие, дисциплина эта тоже была тесно связана с производством нямки, а именно — с сотавлением календаря. Ну, и, конечно, астрономия вплоть до Раннего Нового Времени оставалась неотделимой от астрологии, считавшейся (а подавляющим большинством людей и сейчас, к несчастью, считающейся) вещью не менее практичной — будущее всем знать хочется. И вот там-то и требовались сложные уравнения чтобы вычислить, в каком созвездии когда какая будет планета. Появлялись, конечно, и другие применения — посчитать, например, сколько наплодится кроликов (числа Фибоначчи), сколько зерна оставить на посев, сколько набежит процентов по долгам, сколько рисинок положить на шахматную доску и всякое такое.
Так или иначе, геометрия была больше связана с пространством, а алгебра — со временем. Так уж получилось, что геометрия лучше давалась людям на западе, а алгебра — на востоке. Недаром первое из этих слов греческое, а второе — арабское.
Всё начало меняться, когда молодой французский офицер Рене Декарт, будучи на службе у императора Священной Римской Империи, воевал в во время Тридцатилетней Войны в современной Чехии. Как-то раз, лёжа на кровати, он смотрел на солнечные зайчики на стене комнаты, и вдруг понял, что может охарактеризовать положение каждого из них двумя числами: расстоянием от угла комнаты и высотой от пола. То есть точки — в некотором смысле ещё и числа или их последовательности. А последовательности чисел уже можно складывать друг с другом, умножать на число. и вообще много чего интересного с ними делать. Таким образом точка, фундаментальный объект геометрии, долгое время остававшийся вещью в себе, стала обретать алгебраический смысл, и постепенно геометрия и алгебра стали сближаться, обогащая друг друга и давая начало современной математике. Именно алгебраическими методами, в частности, была доказана невозможность решения доставшихся нам по вине всё того же Платона классических проблем геометрии, над которыми люди бились два тысячелетия: квадратуры круга, трисекции угла и удвоения объёма.
В настоящее время разделить алгебру и геометрию можно разве только в школьной программе. Так же, как пространство и время с появлением теории относительности перестали быть чем-то раздельным, превратившись в пространство-время, алгебра и геометрия срослись так, что уже и непонятно, где из них что. Та же точка может означать функцию — только это будет точка уже не в двумерном пространстве стены, на которую смотрел Рене Декарт, а в бесконечномерном пространсвте функций. Уже упомянутая алгебраическая геометрия вообще выворачивает всё наизнанку, задавая точку, грубо говоря, множеством всех функций, обращающихся в этой точке в нуль. А в некоммутативной геометрии — ещё одном разделе современной математики — несмотря на название, вообще точек нет, только алгебры, хотя есть, к примеру, понятие объёма.
Лично мне в школе лучше давалась геометрия. Сейчас я занимаюсь функциональным анализом, но, несмотря на то, что в нашей дисциплине постоянно приходится работать с бесконечномерными пространствами, которые нарисовать нельзя, порой удобно бывает предствить их в виде чего-то геометрического — это порой даёт дать хорошее интуитивное представление о каком-нибудь явлении, а его потом уже можно выразить в строгих формулах.
Источник статьи: http://yandex.ru/q/question/hw.math/kak_vygliadit_znak_podobiia_v_geometrii_81501bed/