Как пишется периметр параллелограмма

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма


Рис.1	Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d ₁
	2
BO = DO =	d ₂
	2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2
	2

b =	√ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2
	2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =	h _b
	sin α

b =	h _a
	sin α

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₁ 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d ₁ =	2S	=	2S
	d ₂· sinγ		d ₂· sinδ

d ₂ =	2S	=	2S
	d ₁· sinγ		d ₁· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P =	2( b +	h _b	)
		sin α

P =	2( a +	h _a	)
		sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =	1	d ₁ d ₂ sin γ
	2

S =	1	d ₁ d ₂ sin δ
	2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник статьи: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/parallelogram/

Периметр параллелограмма

Параллелограмм это геометрическая фигура имеющая четыре параллельные стороны, противоположных друг другу. В школьной программе все задания по решению параллелограмма, направлены на нахождение высоты, площади, диагонали и периметра. О них и пойдет речь.

Параллелограмм обладает свойствами, такими как:
В параллелограмме и углы и стороны, которые противоположны между собой одинаковы: АВ = CD, BC =AD. Так же как углы АВС = ADC и ВАD = BCD.
Диагонали проведенные из углов параллелограмма в месте пересечения разделятся на две одинаковые части. АО = ОС, ОВ = OD.
Сумма двух углов, одной стороны всегда 180 градусов.
углы: А + В = 1800, В + С = 1800, С + D =1800, A + D = 1800 .
Любая диагональ разделяет параллелограмм на две одинаковые фигуры (треугольник) как по площади так и по размеру.

Зачастую встречается такое интересное свойство как, сума диагоналей в квадрате одинакова с суммой сторон в квадрате.
АС2 + BD2 = (AB2 + BC2). AC2 + BD2 = 2 * (AB2 + BC2)

У параллелограмма есть несколько основных признаков.

— Четырехугольная фигура с противоположными сторонами параллельными друг другу и есть параллелограмм.
— Четырехугольная фигура имеющая одинаковые противоположные стороны, есть параллелограмм.
— Четырехугольная фигура имеющая одинаковые параллельные и противоположные стороны, есть параллелограмм.
— Когда встречающиеся диагонали четырехугольной фигуры в месте пересечения разделяются на равные части. Данная фигура является параллелограммом.
— Четырехугольная фигура в которой противоположные углы одинаковы называется параллелограммом.

Периметр параллелограмма находится по формуле

что означает что периметр равняется двойной сумме сторон.

Биссектриса параллелограмма

Из школьной программы помню определение которое засело в памяти на всю жизнь — Биссектриса это крыса, что ходит по углам и делит угол пополам. Если же говорить научным языком, то:
Биссектрисы углов находящихся на одной стороне встречаются в точке пересечения под углом в 90 градусов.

Так же они могут совпадать и быть параллельны друг другу.

Так же в параллелограмме можно найти высоту, она обозначается в виде отрезка исходящего из угла к основанию, следовательно, от каждого угла их можно провести две.

Площадь параллелограмма это произведение стороны и высоты приведенную к ней. Находится по формуле.

S = a * ha = b * hb

Есть еще один способ вычисления, но им не так часто пользуются в расчетах. Она звучит как площадь параллелограмма это произведение рядом лежащих сторон умноженный на синус угла находящегося между ними.

S = a * b * sin(?) = a * b * sin(?)

Все приведенные в данной статье формулы помогут Вам в решении различных задач по нахождению величин параллелограмма, это не сложно но очень интересно.

Заметка: если Вы находитесь в поиске персонала. Империя кадров поможет вам в этом вопросе. Просто перейдите по ссылке персонал временный (http://www.imperia.ru/client/temp_staff/) и узнайте подробнее.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник статьи: http://reshit.ru/perimetr-parallelogramma

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .

Свойства параллелограмма:

\(\blacktriangleright\) Противоположные стороны попарно равны;

\(\blacktriangleright\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

\(\blacktriangleright\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\) .

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

\(\blacktriangleright\) если противоположные стороны попарно равны;

\(\blacktriangleright\) если две стороны равны и параллельны;

\(\blacktriangleright\) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

\(\blacktriangleright\) если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Периметр параллелограмма равен \(100\) , его большая сторона равна \(32\) . Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна \(100 : 2 = 50\) , значит, меньшая сторона параллелограмма равна \(50 — 32 = 18\) .

Периметр параллелограмма равен \(15\) . При этом одна сторона этого параллелограмма на \(5\) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть \(BC = AB + 5\) , тогда периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(AB + BC + CD + AD = AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4\cdot AB + 10 = 15\) , откуда находим \(AB = 1,25\) . Тогда меньшая сторона параллелограмма равна \(1,25\) .

В параллелограмме \(ABCD\) : \(BE\) – высота, \(BE = ED = 5\) . Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 35. Найдите длину \(AE\) .

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда \(35 = BE \cdot AD = 5\cdot(5 + AE)\) , откуда находим \(AE = 2\) .

Из точки \(C\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр на продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\) . Этот перпендикуляр пересёк прямую \(AD\) в точке \(E\) , причём \(CE = DE\) . Найдите \(\angle B\) параллелограмма \(ABCD\) . Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\) . Так как \(\angle DEC = 90^<\circ>\) , а сумма углов треугольника равна \(180^<\circ>\) , то \(\angle EDC = 45^<\circ>\) , тогда \(\angle ADC = 180^ <\circ>— 45^ <\circ>= 135^<\circ>\) . Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^<\circ>\) .

Диагональ \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) перпендикулярна стороне \(DC\) и равна \(4\) . Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\) , если \(AD=5\) .

По теореме Пифагора находим: \(AB^2=AD^2 — BD^2 = 25 — 16 = 9\) \(\Rightarrow\) \(AB = 3\) . \(S_ = 4\cdot3 = 12\) .

В параллелограмме \(ABCD\) : \(P_ <\triangle AOB>= 8\) , \(P_ <\triangle AOD>= 9\) , а сумма смежных сторон равна \(7\) . Найдите произведение этих сторон параллелограмма \(ABCD\) .

\(P_ <\triangle AOB>= AO + OB + AB\) , \(P_ <\triangle AOD>= AO + OD + AD\) , \(BO = OD\) \(\Rightarrow\) \(P_ <\triangle AOD>— P_ <\triangle AOB>= AD — AB = 1\) , но \(AD + AB = 7\) \(\Rightarrow\) \(AD = 4\) , \(AB = 3\) \(\Rightarrow\) \(AD\cdot AB = 12\) .

Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\) . Высота, опущенная на первую сторону, равна \(10\) . Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\) , с другой стороны, \(S=15\cdot h\) , где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

Источник статьи: http://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/parallelogramm_i_ego_svojstva