Функция. Область определения и область значений функции. Графики функции
Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .
Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .
Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .
График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Содержание
Графики элементарных функций
Линейная функция
Линейная функция — это функция вида y=kx+b , где k и b некоторые действительные числа.
Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
График линейной функции — прямая.
Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .
2) Функция монотонно убывает при k .
3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac
Графиком функции y=\frac
1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число
1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [0; +\infty) .
Графиком функции y=x^2 является парабола.
2) Если n=3 , то y=x^3 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R .
Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.
3) Если n=\frac<1> <2>, то y=x^\tfrac<1> <2>или y=\sqrt
4) Если n=\frac<1> <3>, то y=x^\tfrac<1> <3>или y=\sqrt[3]
Показательная функция
Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, a \neq 1
D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in (0; +\infty ) .
Графиком показательной функции является экспонента.
1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1 .
2) Функция монотонно убывает при 0 .
Например: y=\left (\frac<1> <2>\right )^
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция — это функция вида y=\log_x , где a — действительное число, a > 0, \: a \neq 1
D(f) : x \in (0; +\infty ); \: E(f) : y \in R .
1) Функция монотонно возрастает при a > 1 .
2) Функция будет монотонно убывать при 0 .
Тригонометрическая функция
К тригонометрическим функциям относят функции вида:
1) y=\sin x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi
2) y = \cos x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi
3) y = tg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq \frac<\pi><2>+\pi n\right \>, n \in \mathbb
4) y = ctg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq 0+\pi n\right \>, n \in \mathbb
Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:
1) y=\arcsin x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in \left [ -\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right ]
2) y=arccos x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in [0; \pi]
3) y=arctg x . D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (-\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right )
4) y= arcctg x . D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (0; \pi \right )
Источник статьи: http://academyege.ru/page/funkciya-oblast-opredeleniya-i-oblast-znachenij-funkcii-grafiki-funkcii.html
Область определения и область значений функции
Как определить тип химической связи?
Алгоритм такой: смотрим на атомы вещества, если они одинаковы, далее два варианта, если элемент, образующий вещество — металл (Na, Al), связь металлическая, если — неметалл, ковалентная неполярная (O2, J2).
Если атомы вещества различны, то выбор будет между ионной связью (когда электроотрицательность элементов очень далека друг от друга (>= 1,7), например, металл и неметалл, NaCl) и ковалентной полярной (когда электроотрицательность элементов близка (HCl).
Кроме того атомы водорода одой молекулы могут образовывать связь с неподелённой парой электронов другой молекулы, если эта пара принадлежит весьма электроотрицательному элементу (H-F, H20). Кстати, именно из-за этой связи, вода плотнее льда и зимой насквозь реки не промерзают.
Какие функции выполняют рибосомы?
Рибосома — очень важный клеточный органоид. Она:
Формирует пептидные связи,
Считывает информацию с РНК,
Образует новые белковые молекулы,
Осуществляет гидролиз ГТФ,
Участвует в образовании плазменных факторов свертывания крови.
Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел. Почему они так называются?
- Рациональное число — такое число, которое можно представить в виде несократимой дроби, у которой в числителе и знаменателе целые числа.
Например: 140/91 - А конечной или бесконечной бывает десятичная запись числа. Десятияная запись любого рационального числа либо конечная, либо периодическая (содержащая циклически повторяющиеся комбинации цифр).
- Иррациональное число — не являющееся рациональным. Его невозможно представить в виде несократимой дроби.
- например, иррациональным является √2 — длина диагонали квадрата, сторона которого равна 1.
- Чтобы доказать, что число иррационально, делают предположение, что оно рационально и может быть представлено в виде несократимой дроби p/q. Используя преобразования, доказывают, что p и q не взаимно простые, значит предположение о рациональности дроби было неверно.
- Название «рациональный» произошло от латинского слова «ratio» — , одним из значений которого является соотношение. Дробь это как раз отношение числителя к знаменателю, соотношение.
А «иррациональное» не является переводом слова, но, очевидно, онбозначает «не рациональное».
Найдите значения параметра m, при которых функция f(x)=x^3+3mx^2+5mx возрастает на R. как это решить.
Функция возрастает, если положительна ее первая производная. Значит, надо найти область значений m, при которых первая производная больше нуля при любых x из R (при любых вещественных x).Обращение в ноль в отдельных точках при этом допустимо.
Производная
f'(x) = 3x² + 6mx + 5m
должна быть больше нуля для любых x.
- При x → ± ∞, f’ → +∞. При конечных x, f’ — конечна. Следовательно, производная имеет минимум на R. Ищете этот минимум, определяете, при каких m он больше нуля, эти m и будут решением.
Чтобы найти минимум производной, надо взять производную от производной и приравнять ее нулю.
(Вероятно, от вас ждут еще исследования знака f» слева и справа от x=-m, чтобы убедиться, что экстремум является именно минимумом для f’, а не максимумом, например, или вообще не экстремумом, а иной особой точкой. Значит, указывеете/показываете, что слева f» 0 и f’ — растет. Но, в принципе, было достаточно факта ассимптотического стремления непрерывной конечной функции к +∞ слева и справа. Тогда минимум должен существовать всенепременно, а если есть всего один кандидат на роль минимума, то это минимум и есть и можно знаки f» не проверять.)
В точке своего минимума f'(-m)=3m²-6m²+5m=-3m(m-5/3) и неотрицательна при 0≤m≤5/3. Это и есть искомое решение. При 0≤m≤5/3, f'(x≠-m) > f'(-m) ≥ 0 для всех вещественных x, а f(x), стало быть, монотонно растёт.
- Можно пойти и другим путем, которого от вас вряд ли ждут в контексте изучаемой темы.
Группируем слагаемые: f'(x) = 3x² + 6mx + 5m = 3(x+m)² + m(5/3-m)
3(x+m)² неотрицательно на R, а m(5/3-m) — не зависит от x. Достаточно потребовать m(5/3-m)≥0, чтобы f’ стала больше нуля для любого x≠-m. Ну а решением для неравенства m(5/3-m)≥0 будет 0≤m≤5/3.
UPD. Исправил ошибку в выкладках (верхняя граница для m равна 5/3, а не 5) и включил границы m=0 и m=5/3 в область решений, так как обращение f’ в ноль в отдельных точках не помешает f остаться монотонно возрастающей, как мне верно указали в комментарии к другому ответу.
Источник статьи: http://yandex.ru/q/question/hw.math/oblast_opredeleniia_i_oblast_znachenii_40adb790/
Функция: область определения и область значений функций
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.
Область значения функции
Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).
1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
Рассмотрим примеры подробнее
1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)
1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)
значит D (у) данной функции ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.
2. Найдем Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х
решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где А є Е (у)
значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.
2) Постановка задачи. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике
-e(y).png)
Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7],
Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].
Нужна помощь в учебе?
Все неприличные комментарии будут удаляться.
Источник статьи: http://www.nado5.ru/e-book/funkciya-oblast-opredeleniya-i-oblast-znachenii-funkcii
Что такое область определения функции. и как ее находить?
Есть уравнение, например, y=x+5;
Область определения функции — это множество чисел Х, которые можно подставить в это уравнение.
Всевозможные значения Y называются областью значений функции.
Это первый ответ автора, оцените его!
Область определения — это все значения, которые может принимать аргумент функции.
Здесь «x» может быть любым числом.
А здесь «x» не может быть равен 5, но может быть любым другим числом, ведь результата деления на 0 не приняли.
Как по фото найти информацию?
В Яндекс или Google картинках загрузите любое изображение или фотографию и сервисы Вам предоставят информацию о том, кто изображен на фото (если это известная личность), какой объект, что за место и т. д. Если же будете загружать фотографию обычного человека или случайного места, то сервисы покажут похожие изображения, помимо этого предоставят список сайтов, с помощью которых Вы сможете найти необходимую информацию. Помимо этого существует еще ряд сайтов, где можно выполнить поиск по фотографии и получить дополнительные сведения о ней. К таким сервисам относится:
- Pic2Map;
- TinEye;
- Jeffrey’s Image Metadata Viewer;
- IMGonline;
- FindFace и т. п.
Найти больше информации Вы сможете, когда поймете, как работают подобные сервисы. Если в кратце, то есть такое понятие, как метаданные фотографии — информация о свойствах и признаках того или иного фото (тип камеры, модель телефона, имя, местонахождения и другие данные о нас и нашем устройстве ). Для большего понимания понятия, в статье «Метаданные – как узнать, где была сделана фотография?» есть прекрасное описание по этому поводу: «Цифровая фотография (то, что мы видим и анализируем с внешней стороны) является своего рода пирогом, который испекла любящая мама и поставила на стол – мы видим его, но не знаем, что внутри. Метаданные – информация о том, как и где была сделана фотография, название города или достопримечательности, время, дата, устройство, т. е. другими словами – пирог в разрезе, когда уже можем сказать о структуре, цвете, о том какие ингредиенты внутри, в каком виде, количестве, объеме, какой у него вкус и т. д. »
В целом, любой текстовый документ, файл или графический материал (т. е. видео или фотография, о который Вы спрашиваете) созданный нами с помощью компьютера или мобильного устройства имеет часть скрытой информации — именно она и позволяет находить нам информацию о человеке или объекте.
Источник статьи: http://yandex.ru/q/question/hw.math/chto_takoe_oblast_opredeleniia_funktsii_i_851760e1/