Как пишется модуль в алгебре

Как решать уравнения с модулем: основные правила

Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака. И не важно какой знак перед числом: плюс (+) или минус (-). Да, плюс не ставится, обычно.
Пример: |-5| = 5 и |61,5| = 61.5. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны: |−a|=|a|.

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Кратко: |a| = -a если a

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Теперь немного усложним задачу. Например: |2x+1|=5
Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда|2x+1|=2x+1, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда |2x+1|=−(2x+1)=−2x−1.
В первом случае наше уравнение перепишется так: |2x+1|=5⇒2x+1=5
И внезапно получается, что подмодульное выражение 2x+1 действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа: 2x+1=5⇒2x=4⇒x=2
Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:
| 2x+1 | = 5 и 2x+1

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение |f(x)|=a, причём a≥0 (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу: |f(x)|=a ⇒ f(x) = ±a
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Отдельно рассмотриваем, когда справа стоит часть с плюсом, и отдельно — когда с минусом.

А теперь рассмотрим вот такое уравнение: |3x−2|=2x
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение 2x — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу. А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;

2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;

3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Источник статьи: http://zen.yandex.ru/media/physics_math/kak-reshat-uravneniia-s-modulem-osnovnye-pravila-5ea191a28132b1349425e4ee

Модуль числа. А вы помните школьную математику ?

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех» , чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Доброго времени суток, уважаемые Читатели! Тема школьной математики на моём канале началась еще в далеком апреле с публикации о теореме Виета , а недавно продолжилась логарифмами . Сегодня же речь пойдет о куда более простом, но не менее важном понятии — модуле числа. Поехали!

Определение

Модулем или абсолютной величиной числа x называется расстояние от начала отсчета до точки координатной плоскости, соответствующей этому числу. Модуль числа обозначается |x|.

Впервые это понятие ввел учение Ньютона Роджер Котс, а современное обозначение — Карл Вейерштрасс в 1841 году.

Исходя из определения, можно заключить, что модуль любого числа — есть величина неотрицательная (расстояние же не может быть меньше нуля!). Другие свойства модуля проще всего запомнить, используя его геометрическую интерпретацию

Модули вещественных чисел

Если Вы забыли, что такое вещественные числа — призываю прочитать этот материал.

Итак модуль определен для всех вещественных чисел, куда входят натуральные, целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа. Т.к. модуль неотрицателен, для него верны следующие утверждения:

Дополнительно модуль можно определить как кусочно-заданную функцию вида:

Модуль комплексного числа

Напомню, что комплексные числа — это числа вида Z=x+iy , где i — мнимая единица, а x,y — вещественные числа. Исходя из геометрического представления комплексного числа, его модуль определяется следующим образом:

Модуль и норма

Понятие «норма» — это результат обобщения понятия модуля и абсолютной величины на случай векторного пространства (в нём есть векторы и скаляры — числа, которые подчиняются восьми аксиомам), частным случаем которого, например, является трехмерное Эвклидово. Норма — это некое отображение ( читайте про это понятие ), переводящее точку векторного пространства в числовую ось и удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам):

Оказывается, что модуль лучше всего подходит, чтобы быть нормой векторного пространства, ведь для него по определению выполняются указанные выше аксиомы. В трехмерном Эвклидовом пространстве вместо нормы вектора также употребляют понятие «длина».

Как работает «отображение»? Представьте, что на рисунке выше вектор ОА имеет координаты (2,3,-1), тогда длина (норма) этого вектора равна √ ((2^2)+(3^2)+(-1)^2) = √ 14. Таким образом, вычислив норму вектора, мы однозначно сопоставили точку векторного пространства некой числовой величине, что и является отображением.

Источник статьи: http://zen.yandex.ru/media/mathematic/modul-chisla-a-vy-pomnite-shkolnuiu-matematiku—5f436a2d0fd2524bb24826cd

Модуль числа

Корни и степени. Свойства корней n-ой степени. Таблица корней

Арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии

Модуль числа, его определение и геометрический смысл. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

Логарифм и его свойства. Примеры решения логарифмов

Квадратное уравнение и решение полных и неполных квадратных управнений

Биквадратное уравнение и методы и примеры его решения

Модуль числа

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

Геометрический смысл модуля

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.

|x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: и .

Решим неравенство: |x + 7| Пример 3.

Решим неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

График функции y = |x|

Для x≥ 0 имеем y = x. Для x Высшая математика

Источник статьи: http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/modul-chisla.html

Что такое модуль и как с ним бороться

Здравствуй, человек, читающий эту статью. Сегодня я хочу рассказать тебе, что такое модуль числа, и как решать задания с ним.

Начнём с того, что модуль — это не отрицательная величина, которая, по сути, отражает расстояние.

Т.е. что бы раскрыть модуль, нам нужно рассмотреть два случая для знака числа под модулем:

Т.е. в зависимости от того, какое число под знаком модуля, мы ставим или не ставим «-«.

Тут я приведу вам некоторые свойства модуля, которые понятны и без вывода. Они пригодятся нам в решении уравнений и неравенств с модулем.

1 свойство выходит из определения. 2 свойство выводится из того, что «а в квадрате» всегда неотрицательно, как и модуль. 3 выводится «навесив» корень на 2 свойство.

Перейдём к решению задания с модулем.

Не знаете с чего начать? Давайте для начала просто найдем точки, в которых модуль обращается в 0. Это точки «-1» и «2».

То есть, переходя через них, подмодульное выражение поменяет свой знак.

Начертим ось ОХ и отметим эти точки на ней. Также давайте проставим знаки на промежутках, и решим первый из них.

Для этого случая, исходя из Оси и расставленных знаков, оба модуля раскрываются со знаком «-«. Дальше решаем линейное неравенство, и получаем ответ. Совмещаем его с нашим условием «х меньше 1» и получаем вот такой вот промежуток.

Таким же образом решим 2 случай.

Первый модуль раскрываем со знаком «+», второй со знаком «-«. Далее также решаем линейное неравенство. Совмещаем ответ с данным промежутком и получаем конечный результат для данного случая.

Делаем всё аналогично и получаем следующий промежуток.

Далее всё что от нас требуется совместить эти промежутки и записать итоговый ответ.

Вот и всё небольшое решение этого неравенства с двумя модулями.

Если остались какие-нибудь вопросы, пишите в комментариях.

Ставьте лайки, пишите комментарии, рассказывайте друзьям и подписывайтесь на канал, тут будет много всего

Источник статьи: http://zen.yandex.ru/media/id/5d6c255bac412400ad14d6ac/chto-takoe-modul-i-kak-s-nim-borotsia-5d7fec2c5ba2b500adfde335