Что такое множество: а Вы помните школьную математику?
Понятие множества в математике — одно из фундаментальных понятий. Без его хотя бы поверхностного изучения не стоит начинать и изучение более сложных разделов математики. Теорию множеств на доступном уровне преподают уже в средней школе. Предлагаю Вам их еще раз пройти вместе со мной.
Что такое множество?
Строго говоря, дать определение «множества» нельзя. С точки зрения науки логики такие определения в любом случае противоречивы. Подойдем с другой стороны и будем считать, что мы УЖЕ работаем с множеством произвольной природы, обозначим его X , которое состоит из элементов x ( буквы не принципиальны ).
В данном случае нам неинтересна природа множеств , нам важен только вопрос включения/не включения отдельного элемента в это множество, т.е. максимально абстрактное представление . Попытаться определить, что такое множество можно следующим образом. Пусть X — известное нам множество, тогда мы можем определить множество Y , состоящее из таких элементов x , принадлежащих X , которые удовлетворяют некоторому свойству.
Приведем простой пример. Я думаю не подвергается сомнению, что существуют натуральные числа: 1,2,3 и т.д., другими словами, имеется множество натуральных чисел (обозначают N ). Выделим из него, например, четные числа, обозначим их N2, N4 и т.д.. Теперь мы можем утверждать, что множество четных чисел S ( буква не принципиальна ) состоит из чисел N2, N4 и т.д, удовлетворяющих свойству четности и принадлежащих N.
Таким образом, мы только что задали множество четных чисел , выделив его из множества натуральных чисел. В теории множеств говорят, что мы выделили подмножество (часть) S в множестве N . Обозначается вот так:
Знак включения между S и N строгий. Он означает, что множества N и S не равны. Действительно в нашем примере во множестве N есть еще и множество нечетных чисел. Нестрогий знак обозначается так:
Понятие пустого множества
На самом деле пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента — одно из самых важных понятий всей теории. Обозначается оно следующим образом:
Чем же примечательно пустое множество? Во-первых, это единственное множество которое является подмножествами любых множеств. Во-вторых , пустое множество является подмножеством себя, но не является своим элементом (вспомните определение). В-третьих, в топологии пустое множество одновременно является открытым и замкнутым (крючок на будущее, пока без пояснения).
Парочка небольших примеров на закрепление:
На этом закончим. В этой статье мы рассмотрели как определяется множество, что такое подмножество и пустое множество, каковы их свойства (но пока не все). Рассмотрели несколько примеров для понимания.
В следующем материале мы рассмотрим основные операции над множествами .
P.S. Отвечая на возможную критику из разряда: «зачем столько букв, написал бы, что есть множество, в нём есть элементы, пустое множество есть везде. Лучше бы сразу написал про операции, а не растягивал . и т.д». С изучением математики выработалось четкое понимание, что математика — не социология и не биология (не в обиду), здесь необходимы предельно простые понятия в самом начале изучения. Предельно простые настолько, что бытовое представление о них настолько явно, что, казалось бы, не требует отдельного объяснения. Особенно Вы поймете о чём я говорю, когда, закончив введение в теорию множеств, мы перейдем к изучения метрических пространств (конкретно как будто бытового определения «расстояния»), чтобы наконец-то подобраться к цели этого цикла статей — изучению топологии . Вот вводная статья, для тех, кто еще совсем не знаком с этой замечательной наукой.
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
Источник статьи: http://zen.yandex.ru/media/mathematic/chto-takoe-mnojestvo-a-vy-pomnite-shkolnuiu-matematiku-5ec24094e7e0082a42a14481
Множества
Что такое множество в математике? Математическое множество — это несколько отдельных элементов, рассматриваемых, как единое целое. Если обозначить такой элемент буквой a, а само множество — буквой А, то запись будет выглядеть следующим образом:
проговаривается эта запись так: a принадлежит А, или А содержит а, или а — элемент А.
Для перечисления элементов множества используются фигурные скобки — <>. То есть, например, множество, в котором а ∈ А, b ∈ A и c ∈ A, будет записываться в таком виде:
Виды множеств.
Пустые множества.
Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅.
Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие, противоречащее самому себе — «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента).
Равные множества.
Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире».
Если два множества — А и B — состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество
Подмножества и надмножества.
Если множества А и B состоят из одинаковых элементов
Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В.
Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.
Источник статьи: http://infoogle.ru/mnozhestva.html
Что такое множество?
Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.
Например: множество школьников, множество машин, множество чисел .
В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.
Обозначения
Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.
Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео , то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.
Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F ( friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:
Пример 2 . Запишем множество делителей числа 6.
Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D
затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6
Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈ . К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D ). Записывается это так:
Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»
Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉ . К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D . Записывается это так:
Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»
Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:
Зададим множество, которое состоит из одного числа 2
Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5
Множество натуральных чисел
Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.
Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.
В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число» , чаще всего подразумевалось именно натуральное число.
В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.
Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N
Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»
Множество целых чисел
Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.
Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z .
Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:
Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:
Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:
В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.
Множество рациональных чисел
Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.
Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.
В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).
Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2
10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби 
, а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.
Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.
Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.
12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби 
, а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.
Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:
При выделении целой части в дроби , получается смешанное число 
. Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.
В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:
- целые числа
- обыкновенные дроби
- десятичные дроби
- смешанные числа
Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.
Например укажем, что дробь 
принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:
∈ Q
Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:
Укажем, что смешанное число 
принадлежит множеству рациональных чисел:
∈ Q
Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
8 thoughts on “Что такое множество?”
В первой части во втором примере вы написали что 5 не принадлежит D ,но в объяснение написали что «2 не принадлежит множеству делителей числа 6″. Поправьте ошибку.
Источник статьи: http://spacemath.xyz/chto_takoe_mnojestvo/