Натуральные числа
Натуральные числа — это те числа, которые возникают при счете естественным путем. Например, 1, 2, 3, 4, . Особую позицию здесь занимает ноль. Согласно одному из подходов, натуральные числа появляются при подсчете предметов или их нумерации (первый, второй). Это традиционный поход и нулю в нем нет места. Но в некоторых областях математики 0 является натуральным числом.
Если все натуральные числа расположить в порядке возрастания, и каждое последующее число будет больше предыдущего на 1, то они образуют натуральный ряд . Такой ряд бесконечен, во множестве натуральных чисел N не существует самого большого числа.
Натуральными числами НЕ являются: отрицательные и нецелые числа.
Классы и разряды
Все натуральные числа делятся на классы и разряды. Наверняка, многие слышали такие страшные слова, как квинтиллионы, секстиллионы и даже септиллионы. Все это разрядные единицы многозначных чисел.
Классы – это группы цифр, на которые разбиваются многозначные числа. Разбиваются они справа налево, в каждом классе по 3 цифры. Каждая цифра в классе, так же справа налево, обозначает единицы, десятки или сотни. Классы имеют свое название, самый первый – класс единиц, второй – класс сотен, девятый – класс септиллионов.
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать 100 000 ₽ . Но круто, что есть гранты на учебу. Грант-на-вуз.рф – это возможность учиться на желанной специальности. По ссылке каждый получит бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽ – грант-на-вуз.рф
Все цифры в многозначном числе занимают свою позицию. Другими словами, имеют свой разряд , который считается справа налево.
Единицы, десятки, сотни и так далее – все они являются разрядными единицами и разделяются на простые (единицы первого разряда) и составные (остальные единицы, такие как десятки, сотни и др.) Десять единиц одного разряда будут составлять одну единицу следующего разряда. Так 10 сотен составят 1 тысячу и будут являться единицами низшего разряда по отношению к единице высшего разряда – тысячи.
Свойства
Существует ряд основных свойств , сформулированных еще в XIX в. математиком Д. Пеано:
- Число 1 не следует ни за каким другим натуральным числом
- За каждым натуральным числом следует только 1 натуральное число, с разницей в единицу.
- Множество натуральных чисел содержит все натуральные числа, оно бесконечно и не имеет наибольшего числа.
На основе этих свойств выведены и другие:
- При выполнении сложения и умножения натуральных чисел, результатом будет являться натуральное число.
- Операции сложения и умножения следуют закону перестановочности (от перемены мест слагаемых/множителей, значение не меняется) и сочетательности (при прибавлении к одному числу суммы двух других чисел, сначала производится сложение одного числа, потом другого). Так же, умножение и деление подчиняются распределительному свойству , при котором a(b + c) = ab + ac, (a + b) : c = a:c + b:c.
- a , при условии, что a стоит раньше b в ряду натуральных чисел. А так же, обязательно существования такого натурального числа с , чтобы a + c = b .
- 2 натуральных числа ( a и b ) всегда находятся либо в соотношении a = b , либо a , либо b .
- При a и b справедливо условие a .
- Имея три натуральных числа a, b, c и зная, что a , можно утверждать, что a + c и ac .
- Если a , и они являются натуральными числами, то будет верно неравенство b – a .
Напоминаем про сервис грант-на-вуз.рф . Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишь от 300 ₽ до 100 000 ₽, перейдя по ссылке грант-на-вуз.рф !
Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
Источник статьи: http://zen.yandex.ru/media/studystudent/naturalnye-chisla-5e9f52a43fdcda291b799387
Натуральные числа. Ряд натуральных чисел.
История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.
Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.
Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
Нуль не относится к натуральным числам.
Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.
Таблица натуральных чисел.
Натуральный ряд.
Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.
Свойства натурального ряда:
- Наименьшее натуральное число – единица.
- У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
- Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.
Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5
Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.
Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.
Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.
Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.
Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.
Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.
Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.
Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.
Источник статьи: http://tutomath.ru/5-klass/naturalnye-chisla.html
Что такое Натуральное число
Определение натурального числа
Натуральные числа — это те числа, которые появились натуральным способом, когда считали сколько у человека есть предметов. Например: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.
Наибольшее натуральное число: не существует. Наименьшее натуральное число: 1.
Например, люди считали, сколько у них было фруктов: 1 яблоко, 3 апельсина, 2 дыни.
Нуль (0) не является натуральным числом, хотя некоторые области математики всё-таки считают 0 натуральным числом.
Отрицательные числа (–1, –3, –5. ) не являются натуральными числами («–3» яблок сложно посчитать физически).
Дроби (например, ⅓ или ⅖) тоже не являются натуральными числами.
Такие понятия, как отрицательные («–3»), дроби («⅓») и нуль («0») появились много позже.
Множество натуральных чисел
Множество натуральных чисел бесконечно и обозначается буквой N, т. е.:
Натуральные числа: 
Натуральные числа с нулём: 
Ряд натуральных чисел
Если записать все натуральные числа в порядке возрастания (каждое натуральное число отличается от предыдущего на 1), это будет ряд натуральных чисел. Но если какие-то числа будут отсутствовать, это уже не будет считаться рядом натуральных чисел. Например:
- это ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … ;
- это не является рядом натуральных чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 7, … .
Наибольшего натурального числа не существует — натуральный ряд бесконечен.
Ненатуральные числа
Ненатуральные числа — это отрицательные и нецелые числа (обычно 0 тоже считается ненатуральным, но не всегда).
Отрицательные числа — это все те, которые ниже нуля, например: –1, –2, –3, –4, –5 и др.;
- обычные дроби, например: ½, –¾;
- десятичные дроби, например: 0.07;
- иррациональные числа, например: π (≈3.14), e (≈2.718), √2 (≈1.4142).
Свойства натуральных чисел
Натуральные числа обладают следующими свойствами:
- множество натуральных чисел (обычно) начинается с 1, в нём находятся все натуральные числа и оно бесконечно;
- за каждым натуральным числом всегда следует одно, и только одно натуральное число, которое больше предыдущего на 1;
- результатом деления натурального числа на 1, является само натуральное число: a / 1 = a ; например: 4 / 1 = 4;
- результатом деления натурального числа на него самого будет 1: a / a = 1 ; например: 5 / 5 = 1;
- переместительный закон сложения: a + b = b + a ; например: 1 + 2 = 2 + 1;
- сочетательный закон сложения: (a + b) + c = a + (b + c) ; например: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3);
- переместительный закон умножения: ab = ba ; например: 2×3 = 3×2,
- сочетательный закон умножения: (a × b) × c = a × (b × c) ; например: (1 × 2) × 3 = 1 × (2 × 3);
- распределительный закон умножения относительно сложения: a × (b + c) = ab + ac ; например: 2 × (3 + 4) = 2×3 + 2×4;
- распределительный закон умножения относительно вычитания: a × (b – c) = ab – ac ; например: 2 × (4 – 3) = 2×4 – 2×3;
- распределительный закон деления относительно сложения: (a + b) : c = a:c + b:c; например: (4 + 6) : 2 = 4:2 + 6:2
- распределительный закон деления относительно вычитания: (a – b) : c = a:c – b:c; например: (6 – 4) : 2 = 6:2 – 4:2;
Источник статьи: http://www.uznaychtotakoe.ru/naturalnoe-chislo/
Числа. Натуральные числа.
Простейшее число — это натуральное число. Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
Натуральные числа — это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5. – первые натуральные числа.
Наименьшее натуральное число — один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.
Натуральный ряд чисел — это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 .
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Для подсчета времени в градусной мере углов существует шестидесятеричная система счисления (основа число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой минуте — 60 секунд.
Всякое натуральное число легко записать в виде разрядных слагаемых.
Числа 1, 10, 100, 1000. – это разрядные единицы. При их помощи натуральные числа записывают как разрядные слагаемые. Таким образом, число 307 898 в виде разрядных слагаемых записывается так:
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Самые употребляемые числа имеют не больше 12 разрядов. Числа, которые имеют больше 12 разрядов, относятся к группе больших чисел .
Когда запись натурального числа состоит из одного знака — одной цифры, его называют однозначным числом .
- числа 1, 5, 8 — однозначные числа. Если запись числа состоит из 2-х знаков — двух цифр, его называют двузначным числом .
- числа 14, 33, 28, 95 — двузначные числа,
- числа 386, 555, 951 — трехзначные числа,
- числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные числа и т. д.
Обозначение натуральных чисел: Множество натуральных чисел обозначают символом N.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа – это класс единиц, 3 следующие – это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .
Сравнение натуральных чисел.
Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например, число 7 меньше 11 (записывают так: 7 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .
Таблица разрядов и классов чисел.
1-й разряд единицы миллионов
2-й разряд десятки миллионов
3-й разряд сотни миллионов
1-й разряд единицы миллиардов
2-й разряд десятки миллиардов
3-й разряд сотни миллиардов
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.
Основные свойства натуральных чисел.
- Коммутативность сложения. a + b = b + a
- Коммутативность умножения. ab = ba
- Ассоциативность сложения. (a + b) + c = a + (b + c)
- Ассоциативность умножения.
- Дистрибутивность умножения относительно сложения:
Действия над натуральными числами.
1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.
В основном, сложение натуральных чисел выполняется « столбиком ».
2. Вычитание натуральных чисел – операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.
Если а = в, то а — b = а – а = 0
Вычитание натуральных чисел удобно производить « столбиком ».
3. Умножение натуральных чисел : произведение натуральных чисел.
4. Деление натуральных чисел – операция, обратная операции умножения.
Числовые выражения и числовые равенства.
Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением.
Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами. У равенства есть левая и правая части.
Порядок выполнения арифметических действий.
Сложение и вычитание чисел – это действия первой степени, а умножение и деление — это действия второй степени.
Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.
Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом — действия первой степени.
Когда в выражении есть скобки – сначала выполняют действия в скобках.
Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.
Источник статьи: http://www.calc.ru/Chisla-Naturalnyye-Chisla.html