Элементы треугольника. Биссектриса
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (
)
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – здесь) 
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне 
,
— стороны треугольника против вершин 
соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник статьи: http://egemaximum.ru/bissektrisa-treugolnika/
Биссектриса — свойства, признаки и формулы
Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.
Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.
Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.
Что такое биссектриса в геометрии
Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.
Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.
В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.
Биссектриса прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).
Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.
В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .
Свойства биссектрисы треугольника
1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.
2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.
Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.
Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:
Площадь описанного многоугольника равна:
где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.
Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.
Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;
3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.
Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.
В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.
Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;
5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;
6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;
7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:
«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».
Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;
8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.
Все формулы биссектрисы в треугольнике
В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:
Примеры решения задач
Задача №1
В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.
Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.
Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.
Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.
Это означает, что CA : AB = 1 : 2.
Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.
Задача №2
Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.
Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.
По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.
Источник статьи: http://nauka.club/matematika/geometriya/bissektrisa.html
Как пишется биссектриса угла
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Биссектриса» в других словарях:
биссектриса — ы, ж. bissectrice f. матем. Прямая линия, проходящая через вершину угла и делящая ее пополам. БАС 2. Чертить биссектрису. Васюкова 1999. Биссектриса это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. 1994. Белянин. Лекс. Брокг.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
биссектриса — математичка, линия, прямая Словарь русских синонимов. биссектриса сущ., кол во синонимов: 3 • линия (182) • … Словарь синонимов
БИССЕКТРИСА — (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его пополам … Большой Энциклопедический словарь
БИССЕКТРИСА — [исе], биссектрисы, жен. (от лат. bissectrix секущая поперек) (мат.). 1. В угле прямая линия, делящая угол пополам. 2. В треугольнике прямая линия, проведенная от какого нибудь угла к противоположной стороне и делящая эту сторону на части, прямо… … Толковый словарь Ушакова
БИССЕКТРИСА — БИССЕКТРИСА, ы, жен. В математике: луч (в 3 знач.), исходящий из вершины угла и делящий его пополам. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
биссектриса — БИССЕКТРИСА, ы, ж. Учительница математики в школе. Из шк … Словарь русского арго
биссектриса — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN mean line … Справочник технического переводчика
БИССЕКТРИСА — луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам; любая точка Б. равно удалена от сторон угла. Три Б. углов треугольника пересекаются в одной очке центре вписанной в треугольник окружности … Большая политехническая энциклопедия
биссектриса — (фр. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) надвое рассекающая) геом. луч, проходящий через вершину угла в делящий его пополам. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. биссектриса [исе], биссектрисы, ж. [от латин. bissectrix –… … Словарь иностранных слов русского языка
биссектриса — ы; ж. [франц. bissectrice от лат. bis дважды и secare рассекать] Матем. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. * * * биссектриса (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла, полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его … Энциклопедический словарь
Источник статьи: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/11902