Как написать уравнение прямой с угловым коэффициентом

Запишем полученное уравнение в виде:

(3)

Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение вида Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой.

а). Пусть , тогда это уравнение можно записать в виде:

Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом, т.е. уравнение

вида (1), где

Так как уравнение (1) есть уравнение прямой, то и уравнение (4) есть также уравнение прямой.

б). Если В=0, мы получаем . Это есть уравнение прямой, параллельной оси ОУ.

Рассмотрим примеры.

1). Написать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей угол с положительным направлением оси ОХ.

Решение. Найдем угловой коэффициент искомой прямой:

Тогда искомое уравнение примет вид

или

2). Написать уравнение прямой, проходящей через две точки: и

Решение. Искомое уравнение будет

или

3). Найти угловой коэффициент прямой 5x-3y+6=0.

Решение. Запишем уравнение прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

откуда

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Дана точка и вектор . Написать уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пусть — произвольная точка прямой.

Очевидно, что векторы и перпендикулярны: .

Условие перпендикулярности двух векторов – это равенство нулю их скалярного произведения:

Итак, получаем уравнение (5)

Уравнение (5) можно записать в виде Ax+By+C=0,

где

Таким образом, коэффициенты А и В в общем уравнении прямой являются координатами вектора, перпендикулярного к этой прямой. Вектор называется нормальным вектором прямой.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Решение. Используем уравнение (5) 3(x+2)+4(y-3)=0

6. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Пусть требуется написать уравнение прямой, отсекающей на координатных осях ОХ и ОУ отрезки величин a и b соответственно.

Заданная прямая проходит через две точки A(a,0) и B(0,b). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

Окончательно, получаем (6)

Пример. Дана прямая 2x-3y-6=0. Привести это уравнение к уравнению в отрезках на осях.

Чтобы получить отрезок a, отсекаемый на оси ОХ, нужно положить в данном уравнении y=0; чтобы получить отрезок b – х=0.

Искомое уравнение примет вид:

7. Нормальное уравнение прямой.

Пусть известно расстояние р от прямой до начала координат , и угол α, образуемый перпендикуляром к прямой и положительным направлением оси ОХ. Требуется написать уравнение прямой.

Пусть — произвольная точка прямой, — единичный нормальный вектор прямой.

Найдем скалярное произведение .

По определению скалярного произведения:

,

где — угол между векторами .

Но

Следовательно, мы получим

Итак, мы получаем уравнение или, окончательно,

(7).

Источник статьи: http://studopedia.ru/12_139015_uravnenie-pryamoy-s-uglovim-koeffitsientom.html

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Прямая, проходящая через данную точку в направлении, заданном угловым коэффициентом

Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом между прямой и осью Ox называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости (рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).

Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол считается равным нулю.

Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка , лежащая на этой прямой, и угол наклона прямой к оси Ox.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

где — координаты точки , — угловой коэффициент прямой.

После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида

Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент и прямая проходит через точку .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угол наклона прямой и прямая проходит через точку .

Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если этого не требует условие задачи.

Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.

Пример 3. Установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом точки и .

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получаем:

Получили верное равенство, следовательно точка принадлежит заданной прямой.

Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получаем:

Получили неверное равенство, следовательно точка не принадлежит заданной прямой.

Прямая, проходящая через две данные точки

Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой, которая проходит через две данные точки и .

В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить по формуле:

Нам остаётся лишь применять эту формулу.

Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если она проходит через точки и .

Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Итак, получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точек в полученное уравнение, получаются верные равенства:

Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой

Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.

Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1. В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, проведённой через две данные точки и .

Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):

Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.

Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как в примере 1:

Итак, получили уравнение вида (2).

Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой. Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:

для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Источник статьи: http://function-x.ru/line1.html