Уравнение плоскости через 3 точки
Для начала стоит напомнить, как выглядит общее уравнение плоскости:
$Ax \cdot + By + Cz + D = 0\left(1\right)$,
при этом: $\
В общем уравнении коэффициенты $A, B, C$ не могут быть одновременно равны нулю, если же один из коэффициентов нулевой — уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через центр осей координат.
Также в дальнейшем нам пригодится уравнение плоскости, заданной точкой, лежащей в данной плоскости и нормальным вектором:
здесь $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты точки плоскости.
Теперь непосредственно к делу.
Уравнение плоскости через три точки можно выразить несколькими способами: с помощью смешанного произведения векторов и выразив сначала нормальный вектор плоскости и используя одну точку.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, через смешанное произведение векторов
Рассмотрим три точки $M_1, M_2, M_3$, не находящиеся на одной прямой. Соответственно аксиоме стереометрии о том, что три точки задают плоскость, и притом только одну, все эти точки лежат в одной плоскости $α$.
Готовые работы на аналогичную тему
Рисунок 1. Плоскость через 3 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим точку $M$, лежащую в плоскости $α$. Если описать плоскость $α$ как множество точек $M$, вектора $\vec
Соответственно, для того чтобы вычислить это смешанное произведение, необходимо вычислить определитель третьего порядка, каждая строка которого является координатами вышеперечисленных векторов.
Пусть координаты точек $M, M_1, M_2, M_3$ — $(x; y; z), (x_1;y_1; z_1), (x_2;y_2; z_2), (x_3;y_3;z_3)$ соответственно. Тогда координаты каждого из вышеперечисленных векторов составят:
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Составим определитель, описывающий смешанное произведение векторов:
$\begin
При вычислении этого определителя получается общее уравнение плоскости, проходящей через три точки. Это можно увидеть, раскрыв определитель по первой строке:
$\begin
Коэффициенты из уравнения $(3)$ также совпадают с координатами векторного произведения $\vec
Уравнение плоскости, заданной 3 точками, через нормальный вектор и точку
Другим альтернативным методом задания плоскости является использование нормального вектора плоскости и точки, принадлежащей данной плоскости.
Для того чтобы воспользоваться данным методом, найдём векторное произведение векторов $\vec
$[\vec
Данное произведение является нормальным вектором плоскости, для которой составляется уравнение. Полученные координаты нормального вектора можно использовать непосредственно для составления уравнения плоскости.
Зная точку, принадлежащую этой плоскости, можно подставить координаты нормального вектора и координаты точки в уравнение $(2)$ и получить уравнение плоскости:
В этом уравнении $n_x; n_y; n_z$ — координаты нормального вектора, определённого из векторного произведения векторов $\vec
По сути, два вышеприведённых метода представляют одно и то же, так как в обоих необходимо найти координаты нормального вектора и затем, используя их и координаты третьей неиспользованной точки, получить уравнение самой плоскости.
К данной задаче можно также свести задачу с нахождением уравнения плоскости по уравнениям лежащих в ней параллельных и пересекающихся прямых.
Cоставить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки $M_1,M_2, M_3$ c координатами $(1;2;3), (1;2;4)$ и $(4;2;-1)$ соответственно.
Воспользуемся вторым способом и найдём координаты вектора через векторное произведение. Для этого сначала выразим координаты векторов:
Найдём их векторное произведение:
Подставим координаты нормального вектора в уравнение $(2)$:
$0\cdot(x-4)+(-3) \cdot (y-2)+0 \cdot(z+1)=0$.
$-3y+6=0$ — искомое уравнение плоскости.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Источник статьи: http://spravochnick.ru/matematika/uravnenie_ploskosti_cherez_3_tochki/
Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости
Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.
Найти уравнение плоскости
Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:
Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости
Теория. Уравнение плоскости.
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки
В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:
- Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле
| x — x 1 | y — y 1 | z — z 1 | = 0 |
| x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 | |
| x 3 — x 1 | y 3 — y 1 | z 3 — z 1 |
Если заданы координаты точки A( x 1, y 1, z 1) лежащей на плоскости и вектор нормали n =
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Источник статьи: http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/plane/
Уравнения плоскости: общее, через три точки, нормальное
Плоскость, общее уравнение плоскости
Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.
Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат — Ox, Oy и Oz. Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.
Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.
Если известна какая-нибудь точка 
плоскости P и какой-нибудь вектор 
нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:
Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости, имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x, y, z. Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор 
перпендикулярен вектору 
(рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть
Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле 
:
Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов 
, выразим скалярное произведение 
в координатной форме:
. (1)
Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P. Для точки N, не лежащей на заданной плоскости, 
, т.е. равенство (1) нарушается.
Перед решением задач может пригодиться урок о декартовой системе координат. Также хорошо бы владеть материалом о скалярном произведении векторов.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
.
Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:
В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 — координаты точки .
Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем
Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:
Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.
называется общим уравнением плоскости.
Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением 
.
Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.
Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A(0; 0; 6) .
Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B(0; −3; 0) .
И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C(2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) и C(2; 0; 0) строим заданную плоскость.
Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости. Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.
1. При D = 0 уравнение 
определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0(0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.
2. При A = 0 уравнение 
определяет плоскость, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали 
этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость 
параллельная оси Oy, а при C = 0 плоскость 
параллельна оси Oz.
3. При A = D = 0 уравнение 
определяет плоскость, проходящую через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox (A = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, плоскость 
проходит через ось Oy, а плоскость 
через ось Oz.
4. При A = B = 0 уравнение 
определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy, поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость 
параллельна плоскости yOz, а плоскость 
— плоскости xOz.
5. При A = B = D = 0 уравнение 
(или z = 0) определяет координатную плоскость xOy, так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz, а уравнение x = 0 — координатную плоскость yOz.
Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку 
.
Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид 
. Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .
Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:
Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:
Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем
Подставив найденное значение A в уравнение 
, получим
или 
.
Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.
Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением 
.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.
Пусть даны три различные точки 
, 
и 
, не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы 
и 
не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости 
лежит в одной плоскости с точками 
, 
и 
тогда и только тогда, когда векторы 
, 
и 
компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости
После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:
, 
, 
и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.
Решение. По формуле (3) имеем:
Получили общее уравнение плоскости
или после деления на -2:
Это уравнение, в котором A = 0, т.е. оно определяет плоскость, параллельную оси Ox.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде
где 
— направляющие косинусы нормали плоскости, 
— расстояние от начала координат до плоскости.
Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости — в трёх).
Пусть M — какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения 
точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты 
этой точки.
Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.
так как расстояние не может быть отрицательным числом.
Общее уравнение плоскости
приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой
Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.
Пример 6. Привести уравнение плоскости 
к нормальному виду.
Решение. Вычислим нормирующий множитель:
Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:
Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3) , а плоскость задана общим уравнением 
.
Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:
Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:
Вычислим отклонение точки от плоскости:
Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:
Источник статьи: http://function-x.ru/equations_of_plane.html