Как написать уравнение окружности с центром и радиусом

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Источник статьи: http://www.treugolniki.ru/napisat-uravnenie-okruzhnosti/

Уравнение окружности

Урок 16. Геометрия 9 класс ФГОС

Конспект урока «Уравнение окружности»

Прежде всего, давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии рассмотрим окружность радиуса с центром в точке .

Пусть центр окружности имеет координаты . Возьмем на окружности произвольную точку . Запишем формулу расстояния между точками C и M. Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC равно r. Возведем MC в квадрат и получим уравнение MC 2 = r 2 . Заменим MC 2 квадрат на выражение и получим, что если точка лежит на окружности с радиусом r и центром в точке C, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению . Если точка не лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному уравнению. Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C с координатами имеет вид: .

Задача. Записать уравнение окружности с радиусом и центром в начале координат.

Начало координат имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат имеет вид

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего, определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом равным двум.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4 и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 9.

Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить, что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение окружности и подставим найденные значения.