Как написать уравнение окружности проходящей через 3 точки
Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).
Искомое уравнение имеет вид (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:
Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем
Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь
Отсюда 
. Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим 
. Искомое уравнение имеет вид
или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.
Источник статьи: http://www.pm298.ru/reshenie/iyfdg.php
Задача 30. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
— это уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу и параболу.
— каноническое уравнение окружности
— уравнение окружности с центром в начале координат
— общее уравнение окружности
Для уравнения окружности выполнимо два условия:
1. коэффициенты при x и y равны между собой
2. отсутствует произведение текущих координат вида x*y.
Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фокусов – величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
— каноническое уравнение эллипса
Основные понятия, связанные с уравнением эллипса:
1. Эллипс симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат.
2. Точки пересечения с осью Ox 
, 
, а с осью Oy 
, 
.
3. Точки 
— вершины эллипса.
4. Отрезки 
и 
, а также их длины 2a и 2b называются большой и малой осями эллипса. Числа a и b – большой и малой полуосями.
5. Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = -a, x = a , y = -b, y = b.
6. Если a>b, то эллипс вытянут вдоль оси Ox, а если a 0).
— каноническое уравнение параболы.
Основные понятия, связанные с уравнением параболы:
1. 
Поскольку в уравнении у в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ox.
2. Т.к. P>0 , то x 
0, значит парабола располагается справа от оси Oy.
3. При x =0, y = 0 парабола проходит через начало координат.
4. Точка (0:0) называется вершиной параболы.
Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М.
Уравнение 
тоже определяет параболу.
Задача 30. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).
Искомое уравнение имеет вид (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:
Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем
Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь
.
Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим
.
Искомое уравнение имеет вид
или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.
Задача 31. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) его полуоси a = 6, b = 4;
б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16;
в) большая полуось a = 12, а эксцентриситет e = 0,5;
г) малая полуось b = 8, а эксцентриситет e = 0,6;
д) сумма полуосей a + b = 12, а расстояние между фокусами 
а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид
.
Подставляя сюда a = 6, b = 4, получим
б) Имеем 2c = 10; c = 5; 2a = 16; a = 8.
Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a 2 — b 2 = c 2 , или b 2 = a 2 — c 2 . В нашем случае b 2 = 64 — 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид
в) a = 12; e = 0,5; известно, что 
; в этой формуле неизвестно c. Для его определения получаем уравнение
Теперь, зная, что a = 12, c = 6, пользуясь отношением a 2 — c 2 = b 2 , найдем, что b 2 = 144 — 36 = 108; a 2 = 144.
.
г) b = 8; e = 0,6; 
, отсюда 
. Напишем соотношение a 2 — c 2 = b 2 и подставим в него c = 0,6a; b = 8. Получим a 2 = 0,36a 2 = 64; 0,64a 2 = 64; a 2 = 100.
Уравнение эллипса будет иметь вид
д) a + b = 12, .
Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что 
; c 2 = 18; a 2 — b 2 = c 2 .
Поэтому (a + b)(a — b) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a — b = 1,5.
получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде
Задача 32. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4x 2 + 9y 2 = 144.
Преобразуем это уравнение к простейшему виду
.
Разделив обе части заданного уравнения на 144, получим
.
Отсюда заключаем, что a 2 = 36, b 2 = 16. Значит, a = 6, 2a = 12; b = 4, 2b = 8. Зная a и b, из соотношения a 2 — c 2 = b 2 найдем c. Подставим a = 6; b = 4 и получим, что 
. Координаты фокусов будут 
и 
. Эксцентриситет эллипса
Источник статьи: http://poisk-ru.ru/s21192t4.html