Как написать разложение вектора x по векторам p q r

Разложение вектора по векторам

Формула

Пусть есть вектор $ \overline $ и векторы $ \overline

, \overline, \overline $. Как разложить вектор $ \overline $ по векторам $ \overline

, \overline, \overline $ ?

Достаточно представить вектор $ \overline $ в виде линейной комбинации:

$$ \overline = \alpha \overline

+ \beta \overline + \gamma \overline $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ \begin x= \alpha p_x + \beta q_x + \gamma r_x \\ y=\alpha p_y + \beta q_y + \gamma r_y \\ z = \alpha p_z + \beta q_z + \gamma r_z \end $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ \begin 10= 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma \\ 3=3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma \\ 3 = 1 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma \end $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ \begin 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma = 10 \\ 3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma = 3 \\ \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 3 \end $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ \alpha, \beta, \gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ \Delta = \begin 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 — 5 \cdot 7 \cdot 1 — 4 \cdot 2 \cdot 2 — 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 — 35 — 16 — 18 = 1 $$

Так как $ \Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ \Delta_1 = \begin 10 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end = $$

$$ = 10 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 5 — 5 \cdot 7 \cdot 3 — 4 \cdot 2 \cdot 10 — 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 — 105 — 80 — 18 = 3 $$

$$ \Delta_2 = \begin 2 & 10 & 5 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \end = $$

$$ = 2 \cdot 3 \cdot 2 + 10 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 5 — 5 \cdot 3 \cdot 1 — 4 \cdot 3 \cdot 2 — 10 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 — 15 — 24 — 60 = -2 $$

$$ \Delta_3 = \begin 2 & 3 & 10 \\ 3 & 7 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 10 — 10 \cdot 7 \cdot 1 — 3 \cdot 2 \cdot 2 — 3 \cdot 3 \cdot 3 = $$

Теперь вычислим коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $:

Зная постоянные $ \alpha, \beta, \gamma $, запишем разложение вектора $ \overline $ по векторам $ \overline

, \overline, \overline $:

$$ \overline = 3\overline

— 2\overline + 2\overline $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Источник статьи: http://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/kak-razlozhit-vektor-po-vektoram.html

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
введите значения базисных векторов;
введите значения вектора который нужно разложить по базису;
Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник статьи: http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/basis_expansion/