Представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления
Положительные числа нами были рассмотрены ранее. Рассмотрим способы представления отрицательных чисел в двоичном коде. Существует несколько способов такого представления. Мы рассмотрим три:
1. прямой код (в этом случае в двоичном числе выделяется бит-знака — старший бит). Рассмотрим однобайтное (8 бит) двоичное число со знаком.
Рисунок 2.5 — Представление однобайтных чисел со знаком
Если бит-знак равен 0, то число считается положительным, а если бит-знак равен 1 = отрицательным.
Недостатком прямого кода является невозможность выполнения арифметических операций.
Рассмотрим сложение: 12+(-12)=0
Как видим в результате сложения получились число -24, что не равно 0.
2. смещенный код (аналогично прямому коду двоичное число, в смещенном число разделяется на бит-знак и мантиссу, причем, если бит-знак равен 0, то это число отрицательное, а если бит-знак равен 1 — положительное).
Числа здесь представляются так:
| Число в смещенном коде | Двоичный код | Число без знака |
| ………. | ……… | ..……. |
| -1 | ||
| ………. | ………. | ……… |
| -127 | ||
| -128 |
Достоинством данной системы является то, что в ней выполняются арифметические операции, правда с учетом коррекции результата. А недостатком является то, что 0 соответствует числу 128.
Рассмотрим сложение: 12+(-12)=0
Как видим, в результате операции получилось число 256. Ограничив предел рассмотрения одним байтом, получим 00000000, к этому результату надо прибавить смещение 128.
Рассмотрим сложение: 12+(-13)=0
Как видим, и в данном случае к результату необходимо прибавить 128 и ограничить рассмотрение одним байтом.
3. дополнительный код (это наиболее широко используемый код для представления отрицательных чисел). В нем в числе также выделяется бит-знак в старшем разряде. В дополнительном коде ноль в старшем разряде соответствует положительным числам, а единица — отрицательным числам, но при этом положительные числа представляются как обычно, а отрицательные — в виде записи дополнительного кода.
Рассмотрим порядок перевода числа -9 из десятичной системы в дополнительный код:
1. запишем число без знака: 9;
2. преобразуем число в двоичный код: 00001001;
3. получим обратный код: 11110110;
4. прибавим 00000001 и получим: 11110111.
Если результат операции представлен в дополнительном коде, то для перевода его в десятичный вид используем нижеследующую процедуру
1. запишем дополнительный код: 11110111;
2. получим обратный код: 00001000;
3. прибавим 00000001: 00001001;
4. преобразуем число в десятичный код: -9
Знак минус мы добавили, так как знаем, что наше исходное число в дополнительном коде отрицательное (старший бит равен 1)
Рассмотрим таблицу соответствия чисел представленных в дополнительном коде.
| Число со знаком | Двоичный код | Число без знака |
| +127 | ||
| ………………………. | ………………………… | ………………………… |
| +2 | ||
| +1 | ||
| +0 | ||
| -1 | ||
| -2 | ||
| -3 | ||
| ………………………. | ………………………… | ………………………… |
| -128 |
В дополнительном коде сохраняются все правила выполнения арифметических операций.
Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 8134 ; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник статьи: http://studopedia.su/9_93987_predstavlenie-otritsatelnih-chisel-v-dvoichnoy-sisteme-schisleniya.html
Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера. Прямой и дополнительный код числа
Прямой код
Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.
Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:
0 0001101 – положительное число
1 0001101 – отрицательное число
Количество значений, которые можно поместить в семиразрядной ячейке со знаком в дополнительном разряде равно 256. Это совпадает с количеством значений, которые можно поместить в восьмиразрядную ячейку без указания знака. Однако диапазон значений уже другой, ему принадлежат значения от -128 до 127 включительно (при переводе в десятичную систему счисления).
При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.
Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.
Дополнительный код
В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.
Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.
Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:
В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.
Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.
Источник статьи: http://inf1.info/additionalcode
Мир микроконтроллеров
Популярное
Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа
Двоичное число: прямой, обратный и дополнительный коды
Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа
Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа — способы представления двоичных чисел с фиксированной запятой в компьютерной (микроконтроллерной) арифметике, предназначенные для записи отрицательных и неотрицательных чисел
Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.
Прямой код
Прямой код — способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой. Главным образом используется для записи неотрицательных чисел
Прямой код используется в двух вариантах.
В первом (основной) — для записи только неотрицательных чисел:
В этом варианте (для восьмибитного двоичного числа) мы можем записать максимальное число 255 (всего чисел 256 — от 0 до 255)
Второй вариант — для записи как положительных, так и отрицательных чисел.
В этом случае старший бит (в нашем случае — восьмой) объявляется знаковым разрядом (знаковым битом).
При этом, если:
— знаковый разряд равен 0, то число положительное
— знаковый разряд равен 1, то число отрицательное
В этом случае диапазон десятичных чисел, которые можно записать в прямом коде составляет от — 127 до +127:
Подводя итоги вопроса, не влезая в его дебри, скажу одно:
Прямой код используется главным образом для представления неотрицательных чисел.
Использование прямого кода для представления отрицательных чисел является неэффективным — очень сложно реализовать арифметические операции и, кроме того, в прямом коде два представления нуля — положительный ноль и отрицательный ноль (чего не бывает):
Обратный код
Обратный код — метод вычислительной математики, позволяющий вычесть одно число из другого, используя только операцию сложения.
Обратный двоичный код положительного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 0, за которым следует значение числа.
Обратный двоичный код отрицательного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 1, за которым следует инвертированное значение положительного числа.
Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.
При 8-битном двоичном числе — знаковый бит (как и в прямом коде) старший (8-й)
Диапазон десятичных чисел, который можно записать в обратном коде от -127 до + 127
Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:
1-й пример (для положительного результата)
Дано два числа:
100 = 0110 0100
-25 = — 0001 1001
Необходимо их сложить:
100 + (-25) = 100 — 25 = 75
1-й этап
Переводим число -25 в двоичное число в обратном коде:
25 = 0 001 1001
-25= 1 110 0110
и складываем два числа:
0 110 0100 (100) + 1 110 0110 (-25) = 1 0 100 1010, отбрасываем старшую 1 (у нас получился лишний 9-й разряд — переполнение), = 0 100 1010
2-й этап
Отброшенную в результате старшую единицу прибавляем к результату:
0 100 1010 + 1 = 0 100 1011 (знаковый бит = 0 , значит число положительное), что равно 75 в десятичной системе
2-й пример (для отрицательного результата)
Дано два числа:
5 = 0000 0101
-10 = — 0000 1010
Необходимо их сложить:
5 + (-10) = 5 — 10 = -5
1-й этап
Переводим число -10 в двоичное число в обратном коде:
10 = 0 000 1010
-10= 1 111 0101
и складываем два числа:
0 000 0101 (5) + 1 111 0101 (-10) = 1 111 1010 (знаковый бит = 1 , значит число отрицательное)
2-й этап
Раз результат получился отрицательный, значит число представлено в обратном коде.
Переводим результат в прямой код (путем инвертирования значения, знаковый бит не трогаем):
1 111 1010 —-> 1 000 0101
Проверяем:
1 000 0101 = — 0000 0101 = -5
Обратный код решает проблему сложения и вычитания чисел с различными знаками, но и имеет свои недостатки:
— арифметические операции проводятся в два этапа
— как и в прямом коде два представления нуля — положительный и отрицательный
Дополнительный код
Дополнительный код — наиболее распространенный способ представления отрицательных чисел. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел.
В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).
Диапазон десятичных чисел которые можно записать в дополнительном коде от -128 до +127. Запись положительных двоичных чисел в дополнительном коде та-же, что и в прямом и обратном кодах.
Дополнительный код отрицательного числа можно получить двумя способами
1-й способ:
— инвертируем значение отрицательного числа, записанного в прямом коде (знаковый бит не трогаем)
— к полученной инверсии прибавляем 1
Пример:
Дано десятичное число -10
Переводим в прямой код:
10 = 0 000 1010 —-> -10 = 1 000 1010
Инвертируем значение (получаем обратный код):
1 000 1010 —-> 1 111 0101
К полученной инверсии прибавляем 1:
1 111 0101 + 1 = 1 111 0110 — десятичное число -10 в дополнительном коде
2-й способ:
Вычитание числа из нуля
Дано десятичное число 10, необходимо получить отрицательное число (-10) в дополнительном двоичном коде
Переводим 10 в двоичное число:
10 = 0 000 1010
Вычитаем из нуля:
0 — 0000 1010 = 1 111 0110 — десятичное число -10 в дополнительном коде
Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде
Дано: необходимо сложить два числа -10 и 5
-10 + 5 = -5
Решение:
5 = 0000 0101
-10 = 1111 0110 (в дополнительном коде)
Складываем:
1111 0110 + 0000 0101 = 1111 1011, что соответствует числу -5 в дополнительном коде
Как мы видим на этом примере — дополнительный код отрицательного двоичного числа наиболее подходит для выполнения арифметических операций сложения и вычитания отрицательных чисел.
Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода
(27 голосов, оценка: 4,89 из 5)
Источник статьи: http://microkontroller.ru/programmirovanie-mikrokontrollerov-avr/pryamoy-obratnyiy-dopolnitelnyiy-kod-dvoichnogo-chisla/